Öğrenci Konu Notu 11 — Dengeyi Bozma! Denklemler

Bu derste neler yapacağım?

• Eşitlik işaretinin iki tarafın aynı değerde olduğunu anlattığını göstereceğim.
• Bir kutu modeli veya sözlü durum için denklem kurup bilinmeyeni gerekçeyle bulacağım.
• Bulduğum değeri yerine koyup iki tarafı karşılaştıracağım.

1. İfadeden denkleme

Ders 10'daki 3n + 2, her kutuda n boncuk olan üç kutu ile dışarıdaki iki boncuğun toplamını anlatır. n değişince toplam da değişir. 3n + 2 = 17 ise bir denklemdir: toplamın 17 olduğu özel durumu sorar. Burada n, bir kutudaki boncuk sayısıdır ve negatif olamaz.

Dur ve Düşün

n = 4 için sol taraf kaç eder? 17 ile eşit mi? Eşit değilse “4 yanlıştır” demek yerine modelde neyin eksik olduğunu söyle.

Eşitlik işareti “şimdi cevap geliyor” anlamına gelmez. 8 + 4 = 7 + 5 doğrudur; iki taraf da 12'dir. 8 + 4 = 7 + 4 yanlıştır; sol 12, sağ 11'dir.

2. Terazi modeli: Dengeyi koru

Bir terazinin sol kefesinde üç eş kutu ve iki tek boncuk, sağ kefesinde 17 tek boncuk olsun. Denge varsa iki tarafta da aynı sayıda boncuk vardır. İki taraftan da iki boncuk ayırırsak denge sürer: üç kutuda toplam 15 boncuk kalır. Üç eş kutunun her birinde 5 boncuk vardır.

Bu tablo işlemleri neden yaptığımızı gösterir: aynı miktarı iki taraftan kaldırmak veya iki tarafı aynı sayıda eş gruba ayırmak eşitliği korur. “2'yi karşıya attım” tek başına açıklama değildir.

Kontrol: n = 5 yazınca sol taraf 3 × 5 + 2 = 17 olur; sağ taraf zaten 17. Model ve eşitlik uyuşur.

3. Başka bir yol: Tahmin ve tablo

Çözümü tabloyla da arayabiliriz:

Tablo n = 5'i buldurur. Terazi modeli ise neden 5 olması gerektiğini açıklar. Çünkü 17'den dışarıdaki 2'yi ayırınca 15 kalır ve üç eş kutunun her biri 5 alır. Bu durumda başka bir doğal sayı aynı toplamı vermez: kutu başına bir boncuk artırmak toplamı üç artırır.

4. Eşitliğin iki tarafını birlikte düşün

n + 7 = 15 için iki taraftan 7 ayırırsak n = 8 kalır. Kontrol: 8 + 7 = 15.

2n = 14 için 14 nesneyi iki eş gruba bölersek n = 7. Kontrol: 2 × 7 = 14.

2n + 3 = 13 için önce iki taraftan 3 ayırırız: 2n = 10. Sonra iki eş gruba böleriz: n = 5. Kontrol: 2 × 5 + 3 = 13. Önce hangi parçanın kutuların dışında kaldığını görmek işlem sırasını anlamamıza yardım eder.

Yaygın yanılgı

2n + 3 = 13 için yalnız sol taraftan 3 çıkarmak dengeyi bozar. 2n + 3 = 10 yazmak aynı denklem değildir. İki tarafı da birlikte değiştir ve en sonda başlangıçtaki denklemi kontrol et.

5. Her eşitlik aynı soruyu sormaz

n + 5 = 12 yalnız n = 7 için doğrudur. n + 5 = 5 + n ise iki taraf aynı iki toplamı farklı sırayla yazdığı için her doğal n için doğrudur. Birincisinde uygun bir değer ararız; ikincisinde ilişkinin neden bütün uygun değerlerde sürdüğünü açıklarız. Birkaç deneme tek başına “her zaman” gerekçesi değildir.

Kısa özet

1. Harfin neyi saydığını ve hangi değerleri alabileceğini söyle.

2. İki tarafı eşit tutacak adımları modelle veya sözcüklerle açıkla.

3. Bulduğun değeri ilk denkleme koyup kontrol et.

Kendim deneyim

Yanıtını model, tablo veya eşitliklerle göster; yalnız sonuç yazma.

OKN-01. 9 + 6 = 10 + 5 eşitliği doğru mu? İki tarafı ayrı hesaplayıp açıkla.

OKN-02. Üç eş kutuda n'er pul ve dışarıda iki pul var. Toplam 20 pul olduğunda denklemi kur, n'yi bul ve kontrol et.

OKN-03. n + 8 = 21 eşitliğini bir modelle veya iki taraftan aynı miktarı ayırarak çöz.

OKN-04. 2n + 4 = 18 için “yalnız sol taraftan 4 çıkarıp 2n = 18 buldum” diyen öğrencinin hatasını açıkla. Doğru çözümü yap.

OKN-05. 3n + 2 = 17 için n = 4 ve n = 5 değerlerini dene. Hangisi eşitliği sağlar? Neden başka bir doğal sayı aynı toplamı vermez?

OKN-06. “Bir sayının iki katının üç fazlası 15” cümlesini denklemle göster. Sayıyı bul ve cümlede yerine koyarak kontrol et.

Biraz Daha Düşün! — seçmeli

OKN-07. n + 5 = 5 + n eşitliği yalnız n = 3 için mi doğrudur? Bir modelle bütün doğal n'ler için gerekçelendir.

OKN-08. 2n + 3 = 13 eşitliğini önce tabloyla, sonra terazi düşüncesiyle çöz. İki yolun ortak sonucunu açıkla.