Öğrenci Konu Notu 06 — Buluşma Noktası: EBOB ve EKOK

Bu derste neler yapabileceğim?

• İki sayının ortak pozitif bölenlerini ve pozitif katlarını ayrı listelerden bulacağım.
• En büyük ortak böleni (EBOB) eşit paylaşım, en küçük ortak katı (EKOK) buluşma problemiyle ilişkilendireceğim.
• Asal ayrışımlarla bulduğum sonucu liste ve çarpımla kontrol edeceğim.
• “En büyük” ile “en küçük” sözlerinin hangi kümede kullanıldığını açıklayacağım.

1. Önce iki farklı soru

Paylaşım: 12 kırmızı ve 18 mavi pul, hiç artmadan aynı içerikli paketlere konacak. En fazla kaç paket yapılabilir? Paket sayısı hem 12'yi hem 18'i bölmelidir. 12'nin pozitif çarpanları 1,2,3,4,6,12; 18'inkiler 1,2,3,6,9,18. Ortak bölenler 1,2,3,6. En büyüğü 6dır; altı paketin her birine iki kırmızı, üç mavi pul düşer.

Buluşma: Biri 12, diğeri 18 dakikada bir çalan iki zil aynı anda çalıyor. Başlangıçtan sonraki ilk ortak çalma kaç dakika sonra? 12'nin pozitif katları 12,24,36,48,…; 18'inkiler 18,36,54,…. İlk ortak pozitif kat 36dır.

İki soruda “ortak” sözü var; fakat birinde bölen, öbüründe kat arıyoruz. Başlangıç anı 0 da ortak çalma anıdır, ama “sonraki ilk” için 0'ı değil ilk pozitif ortak katı seçeriz.

2. EBOB: ortak bölenlerin en büyüğü

18'in bölenleri 1,2,3,6,9,18, 24'ün bölenleri 1,2,3,4,6,8,12,24. Ortak bölenleri 1,2,3,6dır. EBOB(18,24)=6. 6 her iki sayıyı da kalansız böler. 12, 24'ü böler ama 18'i bölmez; “büyük” olması yetmez, önce ortak olmalı.

Yöntem: (1) Her sayının pozitif bölenlerini eksiksiz yaz. (2) İki listede de bulunanları işaretle. (3) Bu kısa listenin en büyüğünü seç. Listeleme küçük sayılarda güvenilir bir kontroldür.

Dikkat Dikkat “En büyük bölen” demiyoruz; en büyük ortak bölen diyoruz. Her sayının kendisi bölenidir ama diğer sayıyı bölmeyebilir.

3. EKOK: ortak pozitif katların en küçüğü

8'in katları 8,16,24,32,40,48,…; 12'ninkiler 12,24,36,48,…. Ortak pozitif katlar 24, 48, … diye gider. EKOK(8,12)=24. İlk karşılaştığımız ortak sayıyı seçeriz. 8 × 12=96 da ortaktır, fakat en küçük değildir.

Kontrol: 24 ÷ 8=3 ve 24 ÷ 12=2. 24'ten küçük pozitif 8 katları 8 ve 16'dır; ikisi de 12'nin katı değildir. Bu yüzden daha küçük bir ortak pozitif kat yoktur.

Dur ve düşün Dur ve düşün 6 ile 9 için “6×9=54, öyleyse EKOK 54” diyen öğrenci hangi küçük ortak katı atladı?

4. Aynı çift için iki sonuç

20 ve 30'u inceleyelim. 20'nin bölenleri 1,2,4,5,10,20; 30'unkiler 1,2,3,5,6,10,15,30. Ortak bölenler 1,2,5,10; EBOB=10. Pozitif katlar arasında 20,40,60 ve 30,60 bulunur; EKOK=60.

EBOB sayılardan büyük olamaz; EKOK sayılardan küçük olamaz (pozitif sayılar için). Bu iki sınır sonucu denetlemekte işe yarar; ama tek başına doğru yanıtı kanıtlamaz.

5. Asal çarpanlarla ikinci yol

Ders 05'te 18=2 × 3², 24=2³ × 3 yazmayı öğrendik. Her iki sayıda bulunan kopyaları seçersek bir 2 ve bir 3, yani 2×3=6 elde ederiz: EBOB. Her iki sayının ihtiyacını da karşılayacak kadar kopya seçersek üç 2 ve iki 3, yani 2³×3²=72 elde ederiz: EKOK. Burada örneğin 72÷18=4, 72÷24=3; küçük ortak pozitif kat olmadığını kat listeleriyle de görürüz.

Kısa kuralı ezberlemeye başlamadan nedenini söyle: Ortak bölen, iki sayıdan birinde olmayan kopyayı kullanamaz. Ortak kat, sayılardan birinin istediği kopyayı eksik bırakamaz. Aynı mantık başka asal sayılar için de geçerlidir.

İpucu Çarpımla sınama Pozitif iki sayı için EBOB × EKOK = sayıların çarpımı. 18 ve 24'te 6 × 72 = 432, 18 × 24 = 432. Bu eşitlik iyi bir kontroldür; listenin veya asal kopyaların neden doğru seçildiğini anlatmanın yerini tutmaz.

6. Aralarında asal sayılar

8'in pozitif çarpanları 1,2,4,8; 15'inkiler 1,3,5,15. Ortak tek bölen 1 olduğundan EBOB(8,15)=1 ve sayılar aralarında asaldır. İki sayının kendisinin asal olması gerekmez: 8 ve 15 bileşiktir. Ortak asal çarpanları olmadığından ilk ortak pozitif kat 8×15=120 olur.

Dikkat Karıştırma EBOB=1 olması “iki sayının da asal” olduğu anlamına gelmez. EKOK her zaman çarpım da değildir: 8 ve 12'nin EKOK'u 24'tür, 96 değil.

7. Sorunun dilinden yönteme geç

“En fazla kaç eşit içerikli paket?” sorusunda paket sayısı her miktarı bölmelidir: ortak bölen, sonra en büyüğü. “İlk kez yeniden birlikte ne zaman?” sorusunda süre ikisinin de katı olmalıdır: ortak pozitif kat, sonra en küçüğü. Kelimeleri kör ezberleme; hangi niceliğin bölen veya kat olduğunu cümleyle açıkla.

Örneğin 24 kırmızı ve 36 mavi bilyeden aynı içerikli en çok 12 paket yapılır; pakette 24÷12=2 kırmızı ve 36÷12=3 mavi bulunur. 6 ve 8 dakikada bir çalan iki alarm aynı anda saat 09.00'da çalarsa sonraki birliktelik EKOK(6,8)=24 dakika sonra, 09.24tedir.

Kendim deneyim — bağımsız sorular

Yanıtla birlikte liste, asal kopya veya bölme-çarpma gerekçesi yaz.

1. (OKN-01) 18 ve 24'ün ortak pozitif bölenlerini listele. EBOB'u ve neden daha büyük ortak bölen olmadığını söyle.

2. (OKN-02) 8 ve 12'nin 50'ye kadar pozitif katlarını yaz. İlk ortak pozitif kat hangisi?

3. (OKN-03) 20 ve 30 için EBOB ile EKOK'u iki ayrı yöntemle bul. Sonuçlarını çarpımla kontrol et.

4. (OKN-04) 9 ve 15 dakikada bir yapılan iki etkinlik aynı anda başlıyor. Bir sonraki ortak başlangıç kaç dakika sonra? Neden ortak bölen aramadın?

5. (OKN-05) 8 ve 15 aralarında asal mı? Her ikisi bileşik olmasına rağmen kararını ortak bölenlerle açıkla.

6. (OKN-06) 12 ve 18 için EBOB × EKOK = 12 × 18 eşitliğini sayısal olarak kontrol et. Bu kontrol tek başına “en küçük” ve “en büyük” olduğunu ispatlar mı?

Biraz Daha Düşün! — seçmeli

7. (OKN-07) 24 kırmızı ve 36 mavi boncuktan hiç artırmadan aynı içerikli en çok kaç paket yapılır? Bir paketin içeriğini yaz.

8. (OKN-08) 6 ve 8 dakikada bir çalan iki alarm 09.00'da birlikte çaldı. Bir sonraki ortak çalma saat kaçta? Başlangıç anını neden yanıt saymadın?