Öğrenci Konu Notu 07 — Üslü Sayılar: Tekrarlı Çarpmanın Kısa Dili

Bu derste neler yapabileceğim?

• Aynı sayının tekrar tekrar çarpılmasını üslü yazacağım ve geri açacağım.
• Tabanı ve üssü ayırt edip sonuçları çarpımla denetleyeceğim.
• 10'un kuvvetleriyle basamak değerini ilişkilendireceğim.
• Üslü yazımı asal çarpan ayrışımında ve işlem sırasında kullanacağım.

1. Çarpımın kısaltması

2 × 2 × 2 × 2 ifadesinde dört tane 2 çarpılıyor. Bunu 2⁴ yazarız ve “ikinin dördüncü kuvveti” diye okuruz. 2 taban, 4 üstür. Üs, tabanın kaç kez çarpımda bulunduğunu söyler. 2⁴ = 16; 2 × 4 = 8 olduğu için bu iki işlem karıştırılamaz.

3² = 3 × 3 = 9, 4³ = 4 × 4 × 4 = 64. Üs büyüdüğünde sonucun her zaman büyümesi için tabanın 1'den büyük olması gerekir; örneğin 1² = 1⁵ = 1. Aynı biçimde 0² = 0³ = 0.

Dikkat Dikkat 3² ile 2³ yer değiştirince aynı sonuç çıkmaz: 9 ve 8. Taban ile üssün görevleri farklıdır. 2³ ifadesinde üç tane 2 vardır; iki tane 3 yoktur.

2. Kare ve küp neden böyle adlandırılır?

Bir kenarı 4 birim olan karenin alanı 4 × 4 = 4² = 16 birim karedir. Bir ayrıtı 4 birim olan küpün birim küp sayısı 4 × 4 × 4 = 4³ = 64 olur. “Karesi” ve “küpü” sözleri bu modellerden gelir. Ancak 4⁴ de anlamlıdır; onu dört boyutlu bir şekil çizmek zorunda olmadan dört tane 4'ün çarpımı olarak okuyabiliriz.

Çarpımla kontrol: 2⁴ = 16 sonucunu 2 × 2 = 4, 4 × 2 = 8, 8 × 2 = 16 diye adım adım doğrula. Dört tane 2 kullanıp kullanmadığını say.

3. Onun kuvvetleri ve basamaklar

10¹ = 10, 10² = 100, 10³ = 1000. Pozitif tam sayı üslerde 10'un üssü kadar sıfır görünür: 10⁴ = 10 000. Bunun nedeni her yeni 10 ile çarpışta sayının basamaklarının bir yer sola kaymasıdır; yalnız sıfır saymak kuralın yerine geçmez.

4 × 10³ = 4000; 4 × 10² = 400. 4 aynı rakamdır ama bulunduğu basamak değişince değeri değişir. 3 × 10² + 5 × 10 + 2 = 352 yazılışında yüzlük, onluk ve birlikleri yeniden görürüz. Bu açılımı sayı okuma becerinle kontrol et.

4. Asal çarpan ayrışımında üs

Önceki derste 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 bulduk. Aynı asalları gruplayınca 72 = 2³ × 3² olur. Buradaki 2³, yalnız üç tane 2'yi; 3² yalnız iki tane 3'ü kısaltır. 2³ × 3² = 8 × 9 = 72 ile sayı geri elde edilir. Üsler birbirine eklenip 2⁵ yapılamaz; çünkü tabanlar farklıdır.

Bir kuvveti başka bir kuvvetle karşılaştırırken önce küçük örnekleri aç: 4² = 16 ve 2⁴ = 16 aynı değeri verir, fakat yazılışları farklıdır. 4² iki tane 4, 2⁴ dört tane 2'dir. Eşit sonuç, tabanla üssün yer değiştirebileceği anlamına gelmez; 3² ≠ 2³ bunu çürütür.

5. Birinci ve sıfırıncı kuvvet

7¹ = 7; tek çarpan zaten 7'dir. 1'den büyük bir taban için 5³ = 125, 5² = 25, 5¹ = 5 dizisinde üs bir azalırken sonuç her defasında 5'e bölünür. Aynı örüntüyü sürdürürsek 5⁰ = 1 elde ederiz. Genel olarak sıfırdan farklı bir tabanın sıfırıncı kuvveti 1 alınır. Bu, “sıfır tane sayı çarp ve 0 bul” demek değildir; çarpmanın etkisiz elemanı 1'dir. 0⁰ için bu ders bir kural koymaz.

Dur ve düşün Dur ve düşün 10³ ÷ 10 = 10². Bir adım daha geriye gidersen 10¹ ÷ 10 kaçtır? Bu örüntü 10⁰ için ne önerir?

6. İşlem önceliğine köprü

2 + 3² ifadesinde önce kuvveti 3 × 3 = 9 olarak hesaplar, sonra 2 eklersin: sonuç 11'dir. (2 + 3)² ise önce parantezdeki 5'i bulup 5² = 25 yapar. Aynı sayıların farklı sırada kullanılması farklı sonuç verir. Bir sonraki derste işlemlerin sırasını sistemli inceleyeceğiz.

Kendim deneyim — bağımsız sorular

Yanıtını ve nasıl bulduğunu yaz. Çözümler öğrenci sitesinde yayımlanmaz.

1. (OKN-01) 3⁴ ifadesini çarpım olarak aç ve sonucu bul. Taban ve üs hangileri?

2. (OKN-02) 2⁵ ve 5² ifadelerini açıp karşılaştır. Büyük olanı gerekçelendir.

3. (OKN-03) 4² ile 2⁴ aynı sonucu veriyor. Yazılışlar neden aynı anlama gelmez?

4. (OKN-04) 6000 sayısını 6 ve 10'un bir kuvvetiyle yaz. Aynı fikri 60 000 için uygula.

5. (OKN-05) 108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 ayrışımını üslü yaz ve çarpımla kontrol et.

6. (OKN-06) “6³ = 6 × 3” diyen arkadaşının hatasını bir örnekle açıkla.

Biraz Daha Düşün! — seçmeli

7. (OKN-07) 3² + 2³ ile (3 + 2)³ ifadelerini hesapla. Parantezin sonucu nasıl değiştirdiğini anlat.

8. (OKN-08) 7³, 7², 7¹ dizisinden 7⁰ için bir tahmin kur. Neden 0⁰ hakkında aynı akıl yürütmeyi kullanamayız?